Question

18．在数列{a_n}中，a₁=2，2（a_n+1-1）（a_n-1）+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），若a_n＜$\frac{201}{199}$，则n的最小值为（　　）

• A． 50
• B． 51
• C． 100
• D． 101

Answer 1

分析 令a_n-1=b_n，确定，可得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出b_n，可得a_n，利用a_n＜$\frac{201}{199}$，建立不等式，即可得出结论．

解答 解：令a_n-1=b_n，则
∵2（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0，
∴2b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{{b}_{1}}$=1，{$\frac{1}{{b}_{b}}$}是等差数列，公差为2．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=$\frac{2n}{2n-1}$，
∵a_n＜$\frac{201}{199}$，
∴$\frac{2n}{2n-1}$＜$\frac{201}{199}$，
∴n＞50+$\frac{1}{4}$，
∴n的最小值为50．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，正确转化是关键．