Question

13．曲线C：y²=12x，直线l：y=k（x-4），l与C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求x₁x₂+y₁y₂；
（2）若$|{AB}|=4\sqrt{42}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=12x\\ y=k（{x-4}）\end{array}\right.$，联立消y，利用韦达定理求解即可．
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{{8{k^2}+12}}{k^2}$，x₁x₂=16，利用弦长公式求出直线的斜率，即可求解直线方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由    $\left\{\begin{array}{l}{y^2}=12x\\ y=k（{x-4}）\end{array}\right.$
联立消y得[k（x-4）]²=12x即k²x²-（8k²+12）x+16k²=0，∴x₁x₂=16
y₁y₂=k（x₁-4）．k（x₂-4）=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
所以x₁x₂+y₁y₂₌（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=（1+k²）×16-4k²（$\frac{{8{k^2}+12}}{k^2}$）+16k²=16+16k²-32k²-48+16k²=-32           （6分）
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{{8{k^2}+12}}{k^2}$，x₁x₂=16，
代入弦长公式得4$\sqrt{42}$=$\sqrt{1+{k^2}}$$•\sqrt{[{{{（{\frac{{8{k^2}+12}}{k^2}}）}^2}-4×16}]}$（10分）
即4$\sqrt{42}$=$\sqrt{1+{k^2}}$$\sqrt{\frac{{[{12×16{k^{_2}}+{{12}^2}}]}}{k^4}}$=$\frac{{4\sqrt{[{（{2{k^2}+9}）•（{1+{k^2}}）}]}}}{k^2}$，
∴42k⁴=（12k²+9）（k²+1），即14k⁴=（4k²+3）（k²+1），

整理有10k⁴-7k²-3=0，∴k²=1，∴k=1或k=-1，
∴直线l方程为y=x-4或y=-x-4        （14分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查函数思想以及方程的思想，考查计算能力．