Question

3．已知f（x）=x²+kx+5，g（x）=4x，设当x≤1时，函数y=4^x-2^x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f（x）≤g（x），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 令t=2^x，可得y=t²-2t+2，t∈（0，2]，进而得到D=[1，2]，则f（x）≤g（x）可化为：x²+（k-4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立．
法一：令g（x）=x²+（k-4）x+5，则$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）≤0\end{array}\right.$，解得答案；
法二：则k≤（x+$\frac{5}{x}$）+4在x∈[1，2]时恒成立，故k≤[（x+$\frac{5}{x}$）+4]_min，解得答案．

解答 解：令t=2^x，由于x≤1，则t∈（0，2]，
则原函数可化为：y=t²-2t+2，t∈（0，2]，
当t=1时，y取最小值1，当t=2时，y取最大值2，
故D=[1，2]，
由题意：f（x）≤g（x）可化为：x²+（k-4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立
法一：令g（x）=x²+（k-4）x+5，
则$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1+（k-4）+5≤0\\{2}^{2}+2（k-4）+5≤0\end{array}\right.$，
解得：k≤-2，
法二：则k≤（x+$\frac{5}{x}$）+4在x∈[1，2]时恒成立，
故k≤[（x+$\frac{5}{x}$）+4]_min=-2

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数恒成立，对勾函数的图象和性质，难度中档．