Question

4．在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C-sin Bsin C，则sinA的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围，进而可求sinA的取值范围．

解答 解：利用正弦定理化简sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC得：a²≤b²+c²-bc，
变形得：b²+c²-a²≥bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又A为三角形的内角，
则A的取值范围是（0，60°]，可得：sinA的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故选：B．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．