Question

8．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD．
（Ⅰ）求证：面PAD⊥面PAC；
（Ⅱ）若AB=1，求三棱锥D-PBC的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=a，通过求解直角三角形可得AD²+AC²=CD²，得到AC⊥AD．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面PAD，从而得到平面PAD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设三棱锥D-PBC的高为h，利用V_D-PBC=V_P-DBC求得三棱锥D-PBC的高h．

解答 （Ⅰ）证明：设PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=a，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$a，
在直角梯形ABCD中，求得AD=$\sqrt{2}$a，
在△DAC中，有AD²+AC²=CD²，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，
又PA∩AD=A，∴AC⊥平面PAD，
∵AC?平面PAC，∴平面PAD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：设三棱锥D-PBC的高为h，由题知PA=AB=BC=1，DC=2，PB=$\sqrt{2}$．
∵BC⊥AB，PA⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PB．
∵V_D-PBC=V_P-DBC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$，解得h=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥D-PBC的高为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查面面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．