Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosa\\ y=2+tsina\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）求a=$\frac{π}{4}$时的普通方程和圆C普通的方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{π}{4}$时，直线l的普通方程为x-y+1=0；由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{π}{4}$时，直线l的普通方程为x-y+1=0；
由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，故可设t₁，t₂是上述方程的两根，
∴t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-7，
又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\sqrt{32-4sin2α}$$≥\sqrt{32-4}$=2$\sqrt{7}$，
∴|PA|+|PB|的最小值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．