Question

1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1-f′（x），f（0）=4，则不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，0）∪（3，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1转化为e^xf（x）＞e^x+3，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1转化为e^xf（x）＞e^x+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故选：C

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．