Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+b}$的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x-4y+1=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的切线方程得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{{x}^{2}+2ax-b}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$，
又y=f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为：x-4y+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-4f（-1）+1=0}\\{f（-1）=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=0}\\{f′（-1）=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{1+b}=0}\\{-\frac{1-2a-b}{{（1+b）}^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b≠-1}\\{-4+8a+4b{=（1+b）}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$，
∴f′（x）=-$\frac{（x+3）（x-1）}{{{（x}^{2}+3）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-3＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-3，
∴f（x）在（-∞，-3）递减，在（-3，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极小值=f（-3）=-$\frac{1}{6}$，f（x）_极大值=f（1）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．