Question

4．函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+2（A＞0，ω＞0）的最大值为4，其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈（0，π），则f（$\frac{α}{2}$）=3，求α的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值和函数的周期性即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数的解析式得到sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，由α∈（0，π），得到-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，求出α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，解出α的值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+2（A＞0，ω＞0）的最大值为4，
∴2+A=4，即A=2，
∵图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即函数的周期T=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，得ω=2，
即f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2；
（2）f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+2=3，
即sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，π），
∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴α=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．