Question

9．已知函数g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数），若函数y=g（x）的图象与函数h（x）=2lnx-2的图象存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． e²
• D． 2e²

Answer 1

分析 若函数g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数），若函数y=g（x）的图象与函数h（x）=2lnx-2的图象存在关于x轴对称的点，则函数y=x²-a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=2lnx-2的图象有交点，即x²-a=2lnx-2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，利用导数法，可得a的最大值．

解答 解：若函数g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数），
若函数y=g（x）的图象与函数h（x）=2lnx-2的图象存在关于x轴对称的点，
则函数y=x²-a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=2lnx-2的图象有交点，
即x²-a=2lnx-2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x²-2lnx+2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x²-2lnx+2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
则y′=2x-$\frac{2}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，y′＜0，函数为减函数，
当1＜x≤e时，y′＞0，函数为增函数，
故x=1时，函数取最小值3，
当x=e时，函数取最大值e²，
故实数a的最大值为e²，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档．