Question

14．已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求圆C和直线l的普通方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度．

Answer 1

分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程可得：t²+2t=0，可得|MN|=|t₁-t₂|．

解答 解：（I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0，
圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程可得：t²+2t=0，解得t₁=0，t₂=-2．
∴|MN|=|t₁-t₂|=2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．