Question

19．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的半焦距为c，（a，0）、（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$或2
• C． 2
• D． 2或 $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$c，及又c²=a²+b²，求出离心率．

解答 解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，
∴直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{4}$．
又c²=a²+b²，∴3c^4-16a²（c²-a²）=0，即3e⁴-16e²+16=0；
故离心率为 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2；
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．