Question

6．已知函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[-1，0]时，f（x）=|x|．若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\;\frac{1}{2}}]$
• B． $（{0，\;\frac{1}{3}}]$
• C． $（{0，\;\frac{1}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{4}，\;\;\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=f（x）和函数y=k（x+1）的图象，数形结合可得答案．

解答 解：由f（-x）=f（x），知函数f（x）为偶函数；
由$f（{x+1}）=-\frac{1}{f（x）}$，得函数f（x）的周期为2．
又∵$f（{-x+1}）=-\frac{1}{{f（{-x}）}}=-\frac{1}{f（x）}$，∴f（-x+1）=f（x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称．
令g（x）=f（x）-k（x+1）=0，得f（x）=k（x+1）．
在同一平面直角坐标系中画出函数y=f（x）和函数y=k（x+1）的图象，如图，
由图可知，当直线y=k（x+1）过点C（3，1）时有4个交点，
此时直线y=k（x+1）的斜率为$k=\frac{1-0}{{3-（{-1}）}}=\frac{1}{4}$，
要使函数g（x）=f（x）-k（x+1）有4个零点，
则直线的斜率满足$0＜k≤\frac{1}{4}$．．

故选：C

点评 本题考查的知识点是数形结合思想，转化思想，函数的零点，函数的图象，难度中档．