Question

16．已知直线l₁：y=x+2，l₂：y=x-2，矩阵$M=（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）$．
（Ⅰ）求直线l₁经过矩阵M变换之后得到的直线方程；
（Ⅱ）若将（Ⅰ）中所得直线再进行伸缩变换N之后得到直线l₂，求伸缩变换的矩阵N．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩阵的变换公式可知：$（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）（\begin{array}{l}x\\ y\end{array}）=（\begin{array}{l}2y\\ x\end{array}）=（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）$，求得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x'\\ x=y'\end{array}\right.$，由y=x+2，代入可知x'-2y'-4=0，经过矩阵M变换之后得到的直线方程为x-2y-4=0；
（Ⅱ）设伸缩变换N=$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）$点（x'，y'）经变换N之后得到的点（x''，y''），可知：$\left\{\begin{array}{l}x''=sx'\\ y''=ty'\end{array}\right.$，由又l₂的方程为y=x-2，又（Ⅰ）中所得到的直线为x'-2y'-4=0，因此$\frac{s}{1}=\frac{t}{2}=\frac{2}{4}$，求得$s=\frac{1}{2}，t=1$，即可求得伸缩变换的矩阵N．

解答 解：（Ⅰ）设直线l₁上的任意一点为（x，y）经过矩阵M变换之后得到的点为（x'，y'），
则$（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）（\begin{array}{l}x\\ y\end{array}）=（\begin{array}{l}2y\\ x\end{array}）=（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）$…（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x'\\ x=y'\end{array}\right.$，
又y=x+2，
∴$\frac{1}{2}x'=y'+2$，即x'-2y'-4=0，
∴经过矩阵M变换之后得到的直线方程为x-2y-4=0…（3分）
（Ⅱ）设伸缩变换N=$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）$点（x'，y'）经变换N之后得到的点（x''，y''），
则$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）=（\begin{array}{l}sx'\\ ty'\end{array}）=（\begin{array}{l}{x''}\\{y''}\end{array}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x''=sx'\\ y''=ty'\end{array}\right.$，（4分）
又l₂的方程为y=x-2，
故ty'=sx'-2，
即sx'-ty'-2=0
又（Ⅰ）中所得到的直线为x'-2y'-4=0，
∴$\frac{s}{1}=\frac{t}{2}=\frac{2}{4}$，
即$s=\frac{1}{2}，t=1$
∴$N=（{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&1\end{array}}）$．（7分）

点评 本题考查矩阵变换的应用，考查了矩阵与变换的运算、变换的矩阵求法等知识，属于中档题．