Question

11．过椭圆C：$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}+\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}=1$（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B．且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，则椭圆C的离心率取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}，\frac{5}{6}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{1}{4}，\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．B$（c，±\frac{{b}^{2}}{a}）$，可得k=$\frac{±\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c+a}$=±（1-e），利用$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，解出即可得出．

解答 解：F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∴B$（c，±\frac{{b}^{2}}{a}）$，∴k=$\frac{±\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c+a}$=±$\frac{a-c}{a}$=±（1-e），
∵$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{6}＜1-e＜\frac{1}{3}$，
解得$\frac{2}{3}＜e＜\frac{5}{6}$．
则椭圆C的离心率取值范围是$（\frac{2}{3}，\frac{5}{6}）$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．