Question

8．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{-1}&{a}\end{array}]$（a，b∈R），若点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（-1，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的特征值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，即可求得实数a，b的值；
（2）由（1）可知：A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，f（λ）=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ（λ-3），f（λ）=0，解得：λ=0或λ=3，即可求得矩阵A的特征值，代入即可求得特征向量．

解答 解：（1）由题意可知：$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，
（2）由（1）可知：A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，
特征多项式f（λ）=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ（λ-3），
令f（λ）=0，解得：λ=0或λ=3，
∴特征值λ₁=3，λ₂=0，
当λ₁=3时，齐次线性方程组（λE-A）X=0，
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+2{x}_{2}=0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x₁=-x₂，令x₂=1，
∴其基础解系为$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$（\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}）$，
属于λ₁=3的全部特征向量为：k₁$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$（k₁≠0），
当λ₂=0时，齐次线性方程组（λE-A）X=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2{x}_{2}=0}\\{{-{x}_{1}+x}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x₁=2x₂，令x₂=1，
∴其基础解系为ξ₂=$（\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}）$，
属于λ₂=0的全部特征向量为：k₂$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$（k₂≠0）．

点评 本题主要考查矩阵变换的应用，考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于中档题．