Question

10．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足$a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1，n∈{N^*}$，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前三项．记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，不等式$（{T_n}+\frac{3}{2}）•k≥3n-6$恒成立，则实数k的取值范围是$[\frac{2}{27}，+∞）$．

Answer 1

分析 $a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1，n∈{N^*}$，利用递推关系可得：a_n+1=a_n+2，利用等差数列的通项公式可得a_n．可得b₁=a₂，b₂=a₅．等比数列{b_n}的公比q．利用等比数列的求和公式可得数列{b_n}的前n项和T_n．根据对任意的n∈N^*，不等式$（{T_n}+\frac{3}{2}）•k≥3n-6$恒成立，化简整理利用数列的单调性即可得出．

解答 解：$a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1，n∈{N^*}$，
∴n≥2时，${a}_{n}^{2}$=4S_n-1+4n-3，可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=4a_n+4，可得${a}_{n+1}^{2}$=$（{a}_{n}+2）^{2}$，
∵a_n＞0，可得a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，
∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=4a₁+5，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴b₁=a₂=3，b₂=a₅=9．
∴等比数列{b_n}的公比q=3．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$．
∵对任意的n∈N^*，不等式$（{T_n}+\frac{3}{2}）•k≥3n-6$恒成立，
∴k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$．
令c_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，则c₁＜0，c₂=0，n≥3时，c_n＞0．
且c_n-c_n+1=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$-$\frac{2n-2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{4n-10}{{3}^{n+1}}$＞0，因此单调递减．
∴k≥c₃=$\frac{2}{27}$．
∴实数k的取值范围是：$[\frac{2}{27}，+∞）$．
故答案为：$[\frac{2}{27}，+∞）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．