Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{x^2}$．
（1）判断并用定义证明函数的奇偶性；
（2）判断并用定义证明函数在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的奇偶性定义求证即可；
（2）直接利用函数单调性的定义求证即可；

解答 （1）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），它关于原点对称，
且$f（-x）=\frac{1}{{{{（-x）}^2}}}=\frac{1}{x^2}=f（x）$，
∴f（x）为偶函数．
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}$=$\frac{{（{x_2}+{x_1}）（{x_2}-{x_1}）}}{{{{（{x_2}{x_1}）}^2}}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，${（{x_2}{x_1}）^2}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．

点评 本题主要考查了函数的单调性定义证明，以及函数奇偶性定义证明，属中等题．