Question

5．四棱锥S-ABCD中SA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且SA=AB，若点E是SA的中点．
（1）求证：SC∥平面EBD；
（2）求二面角S-CD-B的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥SC，由此能证明SC∥平面EBD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S-CD-B的大小．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵四棱锥S-ABCD中SA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，点E是SA的中点，
∴OE∥SC，
∵OE?平面EBD，SC?平面EBD，
∴SC∥平面EBD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
设SA=AB=1，则S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SC}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{SD}$=（0，1，-1），
设平面SCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
平面CBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角S-CD-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$θ=\frac{π}{4}$．
∴二面角S-CD-B的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．