Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期为π，且图象上有一个最低
点为M（$\frac{2π}{3}$，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意知：A=3，ω=2，由3sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-3，得φ+$\frac{4π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以确定φ的值，故f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）根据正弦函数的单调性得到2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解出即可．

解答 解：（1）由题意知：A=3，ω=2，
由3sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-3，
得φ+$\frac{4π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{-11π}{6}$+2kπ，k∈Z，
而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以k=1，φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由题意得：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
即2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函数的递增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．