Question

7．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数，现在如下函数：①f（x）=x³；②f（x）=2^x；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\ 0，x≤0.\end{array}$；④f（x）=x+sinx则存在承托函数的f（x）的序号为（　　）

• A． ①④
• B． ②④
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）；

解答 解：函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）；
①f（x）=x³ 的值域为R，所以不存在函数g（x），使得函数f（x）的图象恒在g（x）的上方，故不存在承托函数；
②f（x）=2^-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函数f（x）的承托函数，故②正确；
③∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$的值域为R，所以不存在函数g（x），使得函数f（x）的图象恒在g（x）的上方，故不存在承托函数；
④f（x）=x+sinx≥x-1，所以存在函数g（x）=x-1使得函数f（x）的图形恒在函数g（x）的上方，故存在承托函数．
故答案为：②④

点评 本题考查了对新定义的理解与应用，以及对函数值域与性质的综合理解，属中等题．