Question

9．已知a₁=1，${a_n}=n（{a_{n+1}}-{a_n}）（n∈{N^*}）$，则数列{a_n}的通项公式是（　　）

• A． n
• B． ${（\frac{n+1}{n}）^{n-1}}$
• C． n²
• D． 2n-1

Answer 1

分析 ${a_n}=n（{a_{n+1}}-{a_n}）（n∈{N^*}）$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，a₂=2．利用累乘即可得出．

解答 解：∵${a_n}=n（{a_{n+1}}-{a_n}）（n∈{N^*}）$，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，a₂=2．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…×$\frac{2}{1}×1$=n，
故选：A．

点评 本题考查了数列递推关系、通项公式、累乘法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．