Question

16．2015年春晚上，有一种旋转舞台灯，其外形呈正四棱柱，每个侧面上安装了5只不同的彩灯，每只彩灯发光的概率为$\frac{1}{2}$，若每个侧面上至少3只彩灯正常发光，则该侧面不需要维修，否则需要维修．
（Ⅰ）求恰有两个侧面需要维修的概率；
（Ⅱ）设四个侧面的维修费分别为100元、100元、200元、200元，记需要维修的费用为X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （I）某个侧面需要维修的概率=${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{5}$+$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{2}$，可得恰有两个侧面需要维修的概率=${∁}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$．
（II）由题意可知：X的可能取值为0，100，200，300，400，500，600．利用互斥事件与二项分布列的概率计算公式即可得出．

解答 解：（I）某个侧面需要维修的概率=${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{5}$+$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{2}$，
故恰有两个侧面需要维修的概率=${∁}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{3}{8}$．
（II）由题意可知：X的可能取值为0，100，200，300，400，500，600．
其分布列为：

X	0	100	200	300	400	500	600
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

故E（X）=$\frac{0+100×2+200×3+300×4+400×3+500×2+600×1}{16}$=300．

点评 本题考查了互斥事件与二项分布列的概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．