Question

11．某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是$\frac{2}{3}$，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是$\frac{1}{2}$，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X．
（Ⅰ）求X的所有可能取的值；
（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）X的所有可能取的值是2，3，4．
（Ⅱ）设A_i表示事件“参加科目A的第i（i=1，2）次考试的成绩为合格”，B_i表示事件“参加科目B的第i（i=1，2）次考试的成绩为合格”，且A_i，B_i相互独立（i=1，2），利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望即可得出．

解答 解：（Ⅰ）X的所有可能取的值是2，3，4．
（Ⅱ）设A_i表示事件“参加科目A的第i（i=1，2）次考试的成绩为合格”，B_i表示事件“参加科目B的第i（i=1，2）次考试的成绩为合格”，且A_i，B_i相互独立（i=1，2），
那么$P（{A_1}）=P（{A_2}）=\frac{2}{3}$，$P（{B_1}）=P（{B_2}）=\frac{1}{2}$．$P（X=2）=P（{A_1}）P（{B_1}）+P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）=P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（{B_1}）+P（{A_1}）P（\overline{B_1}）P（{B_2}）+P（{A_1}）P（\overline{B_1}）P（\overline{B_2}）$=$（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=4）=P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（\overline{B_1}）P（{B_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（\overline{B_1}）P（\overline{B_2}）$=$（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}=\frac{1}{9}$．
∴X的分布列为：

X	2	3	4
p	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

∴$EX=2×\frac{4}{9}+3×\frac{4}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{8}{3}$．
故X的数学期望为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．