Question

20．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$≥2恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （0，1]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 依题意知，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x≥2（x＞0）恒成立?a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）_max，于是可得a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²（a＞0），对任意两个不等的正实数x₁、x₂都有＞2恒成立，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x≥2（x＞0）恒成立，
∴a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
则a≥g（x）_max，
∵g（x）=2x-x²为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，
∴当x=1时，g（x）=2x-x²取得最大值g（1）=1，
∴a≥1．
即a的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数的几何意义与二次函数的对称性、单调性与最值，考查转化思想．