Question

9．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂=4，a₄²=4a₁a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n，并证明：S_n＜2．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得b_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比是q，则q＞0．
∵a₄²=4a₁a₅，
∴a₄²=4a₃²
∴q²=$\frac{{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{3}}^{2}}$=4，从而q=2．
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=log₂（2×2²×…×2ⁿ）=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2-$\frac{2}{n+1}$＜2．
即S_n＜2．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．