Question

14．已知a＞0，函数f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）求不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，可得函数f（x）的零点；
（2）当x＞a时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化为：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，当0＜x≤a时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化为：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，解得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）求导分析函数的单调性，进而分类讨论，可得g（a）的表达式．

解答 解：（1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，
则x=a，
∴函数f（x）的零点为a；
（2）∵x＞0，a＞0，
∴x+2a＞0，
当x＞a时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化为：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（a，4a），
当0＜x≤a时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化为：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（0，a]，
综上可得：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集为（0，4a）；
（3）函数f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{x-a}{x+2a}，0≤x≤a\\ \frac{x-a}{x+2a}，x＞a\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{-3a}{（x+2a）^{2}}，0≤x≤a\\ \frac{3a}{（x+2a）^{2}}，x＞a\end{array}\right.$，
故函数f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数，
又由f（0）=f（4a）=$\frac{1}{2}$，
故4∈[0，4a]，即a≥1时，g（a）=f（0）=$\frac{1}{2}$，
4∈（4a，+∞），即0＜a＜1时，g（a）=f（4）=$\frac{4-a}{4+2a}$．
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}，a≥1\\ \frac{4-a}{4+2a}，0＜a＜1\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性，难度中档．