Question

6．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=$\sqrt{2}$．取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），CM与平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$．

解答 解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，
∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．
又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，∴DB=$\sqrt{2}$．
∴O（0，0，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），M（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴CM与平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．