Question

17．已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$，则直线2x-y+3=0在矩阵M对应的变换作用下的直线方程是7x-5y-12=0．

Answer 1

分析 利用特征值与特征向量的定义，建立方程，求出b，c，即可求矩阵M，设点A′（x′，y′）为直线2x-y+3=0上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A（x，y），进一步求得x′，y′与x，y的关系，代入直线方程得答案．

解答 解：由题知，$[\begin{array}{l}{1}&{b}\\{c}&{2}\end{array}]$=4$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{8}\\{12}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+3b=8}\\{2c+6=12}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，
设点A′（x′，y′）为直线2x-y+3=0上的任一点，
它在矩阵M的作用下得到的点为A（x，y），
则$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′+2y′}\\{y=3x′+2y′}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{y-x}{2}}\\{y′=\frac{3x-y}{4}}\end{array}\right.$，代入2x-y+3=0，得7x-5y-12=0．
故答案为：7x-5y-12=0．

点评 本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，是基础题．