Question

12．已知函数f（x）=e^x-2ax与g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x的图象不存在相互平行或重合的切线，则实数a的取值范围[$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）=e^x-2ax与g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x的图象不存在相互平行或重合的切线，即不存在斜率相等，利用导函数求解即可．

解答 解：函数f（x）=e^x-2ax，
则f′（x）=e^x-2a，
函数g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x，
则g′（x）=-3x²+2ax-（2a+1），
∵不存在相互平行或重合的切线，即任意的切点不存在斜率相等．
∴e^x-2a=-3x²+2ax-（2a+1）无解．
e^x=-3x²+2ax-1无解．
∵e^x＞0，
方程无解，只需任意的x的值使得-3x²+2ax-1≤0即可．
令h（x）=-3x²+2ax-1≤0，
其对称轴x=$\frac{a}{3}$，
则h（$\frac{3}{a}$）≤0，即$-3×\frac{{a}^{2}}{9}+2a×\frac{a}{3}-1≤0$，
解得：$-\sqrt{3}≤a≤\sqrt{3}$．
故答案为：[$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]

点评 本题考查了利用导函数求解函数斜率的问题，题中隐藏对任意的切点不存在斜率相等是解题的关键．属于中档题．