Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD中点．

（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面ABCD所成角为45°，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出CD⊥AE，PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAE．
（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 证明：（1）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，
则∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
∴∠PBA=45°，∴PA=AB=4，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
P（0，0，4），D（0，5，0），C（4，3，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，5，-4），$\overrightarrow{PC}$=（4，3，-4），
设平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=5y-4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4x+3y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=4，得$\overrightarrow{m}$=（2，4，5），
设二面角A-PD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{45}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解时要认真审题，注意向量法的合理运用．