Question

19．定义：f₁（x）=f（x），当n≥2且x∈N^*时，f_n（x）=f（f_n-1（x）），对于函数f（x）定义域内的x₀，若正在正整数n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整数，则称n是点x₀的最小正周期，x₀称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）
①1是f（x）的一个3～周期点；
②3是点$\frac{1}{2}$的最小正周期；
③对于任意正整数n，都有f_n（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$；
④若x₀∈（$\frac{1}{2}$，1]，则x₀是f（x）的一个2～周期点．

Answer 1

分析 根据已知中点x₀的最小正周期，x₀称为f（x）的n～周期点的定义，逐一分析四个结论的真假可得答案．

解答 解：f₁（1）=f（1）=0，f₂（1）=f（f₁（1））=f（0）=$\frac{1}{2}$，f₃（1）=f（f₂（1））=f（$\frac{1}{2}$）=1，
故①1是f（x）的一个3～周期点，正确；
f₁（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，f₂（$\frac{1}{2}$）=f（f₁（$\frac{1}{2}$））=f（1）=0，f₃（$\frac{1}{2}$）=f（f₂（$\frac{1}{2}$））=f（0）=$\frac{1}{2}$，
故②3是点$\frac{1}{2}$的最小正周期，正确；
由已知中的图象可得：f（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$，
故f₁（${\frac{2}{3}}$）=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，f₂（${\frac{2}{3}}$）=f（f₁（${\frac{2}{3}}$））=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，f₃（${\frac{2}{3}}$）=f（f₂（${\frac{2}{3}}$））=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，…
故③对于任意正整数n，都有f_n（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$，正确；
④若x₀=1，则x₀∈（$\frac{1}{2}$，1]，但x₀是f（x）的一个3～周期点，故错误．
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了新定义点x₀的最小正周期，x₀称为f（x）的n～周期点，正确理解新定义，是解答的关键．