Question

19．如图，四棱锥A-BCDE中，F为AD的中点，DC⊥平面ABC，CD∥BE，AB=AC=BC=CD=2BE．
（1）求证：EF⊥平面ACD；
（2）求平面ADE与平面ABD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结BO、FO，推导出EF⊥OF，EF⊥AC，由此能证明EF⊥平面ACD．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面ABD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AC中点O，连结BO、FO，
∵四棱锥A-BCDE中，F为AD的中点，DC⊥平面ABC，
CD∥BE，AB=AC=BC=CD=2BE，
∴OF$\underset{∥}{=}$BE，BE⊥OB，∴四边形CBEF是矩形，
∴EF⊥OF，EF⊥AC，
∵OF∩AC=O，∴EF⊥平面ACD．
解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=AC=BC=CD=2BE=2，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，2），E（0，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}，1$），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-x+\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=-a+\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{m}=-2a+2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
设平面ADE与平面ABD所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴平面ADE与平面ABD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．