Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$，且函数g（x）=f（x）-kx+2k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤0$
• B． $k≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$k=-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜K＜-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤-\frac{1}{3}$或k=0

Answer 1

分析 在同一坐标系中画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的图象与y=kx-2k的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的图象如下图所示：

若函数g（x）=f（x）-kx+2k有三个不同的零点，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的图象与y=kx-2k的图象有三个交点，
当y=kx-2k过（-1，1），即k=-$\frac{1}{3}$时，两函数图象有两个交点，
当y=kx-2k与半圆相切，即k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，两函数图象有两个交点，
故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜K＜-\frac{1}{3}$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程的根，数形结合思想，难度中档．