Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）证明{a_n+a_n-1}与{a_n-3a_n-1}分别都是等比数列并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．即可得到a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），利用等比数列的定义，证明即可；
（2）由（1），求出a_n=$\frac{1}{4}$×[7•3^n-1+13•（-1）^n-1]，再根据等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（1）a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+a_n-1=3a_n-1+3a_n-2=3（a_n-1+a_n-2），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂+a₁=5+2=7，
∴数列{a_n+a_n-1}是以7为首项，3为公比的等比数列，
∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂-3a₁=2-15=-13，
∴数列{a_n-3a_n-1}是以-13为首项，-1为公比的等比数列；
（2）由（1）知数列{a_n+a_n-1}是以7为首项，3为公比的等比数列，数列{a_n-3a_n-1}是以-13为首项，-1为公比的等比数列，
∴a_n+a_n-1=7•3^n-2，a_n-3a_n-1=-13•（-1）^n-2，
∴a_n=$\frac{1}{4}$×[7•3^n-1+13•（-1）^n-1]，
∴S_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{7（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{13（1-（-1）^{n}）}{1-（-1）}$]=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$×3ⁿ-$\frac{1}{8}$×（-1）ⁿ．

点评 证明数列是等比数列，定义是根本，求数列的通项，正确运用等比数列的通项是关键．