Question

19．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x₀＞0，使得对任意的x∈（0，x₀），恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）构造函数F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈（0，+∞），利用函数F（x）的单调性，只需求出F（x）值域即可；
（2）构造函数G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈（0，+∞），利用其单调性，讨论其值域情况即可．

解答 解：（1）令F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈（0，+∞），
则有F′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=-$\frac{x}{1+x}$．…（3分）
当x∈（0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递减；…（6分）
故当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，即当x＞0时，f（x）＜x．…（8分）
（2）令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈（0，+∞），
则有G′（x）=$\frac{1}{1+x}$-k=$\frac{-kx+（1-k）}{1+x}$．…（10分）
当k≤0时G′（x）＞0，所以G（x）在（0，+∞）上单调递增，
G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x₀均满足题意．…（13分）
当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得x=$\frac{1-k}{k}$=$\frac{1}{k}$-1＞0．
取x₀=$\frac{1}{k}$-1，对任意x∈（0，x₀），恒有G′（x）＞0，…（16分）
从而G（x）在（0，x₀）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．…（18分）

点评 本题考查了函数中的证明恒成立不等式，构造新函数，利用新函数的单调性处理的基本方法必须掌握，属于中档题．