Question

9．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AC=AD=2，BC=BD=1，点E是线段AD的中点．
（Ⅰ）如果CD=$\sqrt{2}$，求证：平面BCE⊥平面ABD；
（Ⅱ）如果∠CBD=$\frac{2π}{3}$，求直线CE和平面BCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BC⊥BD，AB⊥BC．由此能证明平面BCE⊥平面ABD．
（Ⅱ） 取线段BD的中点G，连接EG，CG，推导出EG⊥平面BCD，∠ECG为直线CE和平面BCD所成的角，由此能求出直线CE和平面BCD所成的角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵$BC=BD=1，CD=\sqrt{2}$，
∴BC²+BD²=CD²，∴BC⊥BD．…（2分）
∵AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AB⊥BC．
又∵AB∩BD=B，∴BC⊥平面ABD．…（4分）
又BC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABD…（6分）
解：（Ⅱ） 取线段BD的中点G，连接EG，CG．
在△ABD中，∵AE=ED，BG=GD，
∴EG∥AB．∵AB⊥平面BCD，∴EG⊥平面BCD…（8分）
∴直线EC在平面BCD内的射影为CG，
∠ECG为直线CE和平面BCD所成的角…（9分）
在△ABD中，$EG=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
在△BCD中，$C{G^2}=B{C^2}+B{G^2}-2BC•BG•cos\frac{2π}{3}=\frac{7}{4}$，CG=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
在△ECG中，$E{C^2}=E{G^2}+C{G^2}=\frac{5}{2}$，∴$EC=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
在Rt△ECG中，$cos∠ECG=\frac{CG}{CE}=\frac{{\sqrt{70}}}{10}$，
∴直线CE和平面BCD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{70}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．