Question

10．已知直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0经过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l斜率k的取值范围；
（3）过椭圆C上异于其顶点的任一点P作圆O：x²+y²=2的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上截距分别为m，n，证明：$\frac{1}{4{m}^{2}}+\frac{1}{3{n}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由已知中直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0经过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点和上顶点，可得椭圆C的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为钝角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围；
（3）由切线的性质，结合四点共圆判断可得P，M，O，N四点共圆，可得其圆心O'（$\frac{{x}_{p}}{2}$，$\frac{{y}_{p}}{2}$），求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦方程，由题意可得P₁P₂的方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，求得P的坐标，代入椭圆方程即可得证．

解答 解：（1）直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0经过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点和上顶点．
故c=1，b=$\sqrt{3}$，
故a=2，
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-16kx+4=0
∵△=（16k）²-12×（3+4k²）＞0，∴k＜-$\frac{3\sqrt{13}}{26}$或k＞$\frac{3\sqrt{13}}{26}$
x₁+x₂=$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
由于∠AOB为钝角，x₁x₂+y₁y₂＜0，∴$\frac{16-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$＜0，
∴k＜-1或k＞1
∴直线L的斜率的取值范围是k＜-1或k＞1
证明：（3）因为MN为切点，所以OM⊥PM，ON⊥PN，
所以P，M，O，N四点共圆，
其圆心O'（$\frac{{x}_{p}}{2}$，$\frac{{y}_{p}}{2}$），方程为（x-$\frac{{x}_{p}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{p}}{2}$）²=$\frac{{x}_{p}^{2}+{y}_{p}^{2}}{4}$，
整理得x²+y²-xx_P-yy_P=0，
MN是圆O与圆O'的交点，
联立圆O：x²+y²=2的方程得xx_P+yy_P=2，
直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，
可得直线MN的方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，
得x_P=$\frac{2}{m}$，y_P=$\frac{2}{n}$，
因为P（x_P，y_P）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上，
则$\frac{{（\frac{2}{m}）}^{2}}{4}+\frac{{（\frac{2}{n}）}^{2}}{3}=1$，
整理得$\frac{1}{4{m}^{2}}+\frac{1}{3{n}^{2}}$=1

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．