Question

2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的
中点，连接DE，BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V₁，四面体EBCD的体积为V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．
（理科专用）（Ⅲ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$，求$\frac{DC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，BC⊥DE，DE⊥PC，由此能证明DE⊥平面PBC．从而得到四面体EBCD是鳖臑．其余四个直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（Ⅱ）PD是阳马P-ABCD的高，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，由此能求出$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．
（Ⅲ）在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线，∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，得BC⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
又∵PD=CD，点E是PC 的中点，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
∴四面体EBCD是鳖臑．
其余四个直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
解：（Ⅱ）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，
∴${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD=\frac{1}{3}×BC×CD×PD$，
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，
∴${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$，
在Rt△PDC中，∵PD=CD，
点E是PC的中点，
∴DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}×BC×CD×PD}{\frac{1}{6}×BC×CE×DE}$=$\frac{2CD×PD}{CE×DE}$=4．
（Ⅲ）如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠FDB=$\frac{π}{3}$，
则 tan$\frac{π}{3}$=tan∠DPF=$\frac{BD}{PD}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解得λ=$\sqrt{2}$．所以$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的体积的比值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解时要认真审题，注意空间思维能力的培养．