Question

3．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²+mx-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的定义，设x＞0，则-x＜0，结合f（-x）=-f（x），又f（0）=0，即可得到所求解析式；
（2）由题意可得f（x）=x²+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，运用判别式和韦达定理，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
又f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x），所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+mx+1，\;x＞0\\ 0\;，\;x=0\\-{x^2}+mx-1\;，\;x＜0\end{array}\right.$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
（2）由方程f（x）=0有五个不相等的实数解，得y=f（x）的图象与x轴有五个不同的交点，┉┉┉（9分）
因为f（x）为奇函数，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，又f（0）=0，
所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，┉┉┉（10分）
即，方程x²+mx+1=0有两个不等正根，记两根分别为x₁，x₂┉┉┉┉┉┉（12分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-4＞0\\{x_1}+{x_2}=-m＞0\\{x_1}•{x_2}=1＞0\end{array}\right.⇒m＜-2$，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（15分）
所以，所求实数m的取值范围是m＜-2┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（16分）

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查方程思想和函数思想转化，注意运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．