Question

12．在极坐标系中，点M坐标是$（{2，\frac{π}{3}}）$，曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．
（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据直线l经过点M$（{2，\frac{π}{3}}）$和极点，可得直线l的极坐标方程，根据曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）可得曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，曲线C的表示以（1，1）点为圆心，以r=$\sqrt{2}$为半径的圆，代入圆的弦长公式，可得答案．

解答 解：（1）直线l经过点M$（{2，\frac{π}{3}}）$和极点．
∴直线l的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{3}$，（ρ∈R），
曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ可化为：ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ
∴曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-2x-2y=0；
（2）直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，
曲线C的表示以（1，1）点为圆心，以r=$\sqrt{2}$为半径的圆，
圆心到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{3}+1$

点评 本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，直线与圆的位置关系，难度中档．