Question

4．已知函数f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0
（1）若a=-4，求f（x）的极值；
（2）判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可．
（2）先求函数f（x）的定义域，再求导数f′（x），由于含参数a，分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．

解答 解：（1）a=-4时，f（x）=x²-4ln（x+1），函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{4}{x+1}$=$\frac{2（x-1）（x+2）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
故x=1时，f（x）取得极小值1-4ln2；
（2）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2（x+\frac{1}{2}）}^{2}+a-\frac{1}{2}}{x+1}$，
①当a≥$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②当a＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）=0有两个解，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，-1＜x₁＜x₂，
此时f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
若x₁≤-1，即a≤0时，x₁≤-1＜x₂，
此时f（x）在（-1，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．