Question

14．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），上、下顶点分别为B₁、B₂，右准线l：x=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）连接B₁F₂并延长交椭圆于点M，连接B₂M并延长交右准线于点N，求点N的坐标；
（3）是否存在非零常数λ，μ，使得对椭圆上任一点Q，总有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ（其中点A在x轴上，点B在y轴上），若存在，求出常数λ，μ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，c=1，准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的方程；
（2）直线B₁M方程为：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，求得点M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），直线B₂M方程为：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，当x=4，求得y=0，即可求得点N的坐标；
（3）A点的坐标为（-a，0），B点坐标为（0，b），a²+b²=μ²，$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，设Q点坐标为（x，y），则-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，代入椭圆方程，整理可知：当4λ²-3=0时，即当λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，3μ²=12（λ+1）²，即可求得常数λ，μ的值．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）椭圆的焦点在x轴上，
由c=1，准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，
由b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）直线B₁M方程为：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
代入椭圆方程，求得点M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），
直线B₂M方程为：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
代入椭圆方程，当x=4，求得y=0，
∴N（-4，0），
（3）如图可知：A点的坐标为（-a，0），B点坐标为（0，b），
由a²+b²=μ²，
由$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，
设Q点坐标为（x，y），则-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，
y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，
∵Q在椭圆上，则Q（x，y）满足椭圆方程，
$\frac{3{a}^{2}}{（λ+1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}{b}^{2}}{（λ+1）^{2}}$=12，整理得：3a²+4λ²b²=12（λ+1）²，
由a²+b²=μ²，则a²=μ²-b²，
代入整理得：3（μ²-b²）+4λ²b²=12（λ+1）²，即3μ²+（4λ²-3）b²=12（λ+1）²，
∴当4λ²-3=0时，即当λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
3μ²=12（λ+1）²，
则μ=4（λ+1）²，即μ=$\sqrt{3}$+2，
∴当λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，总有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ=$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆位置关系，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想与函数与方程思想的应用，属于中档题．