Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若二面角E-BD-F的大小为60°，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF，证明FO∥PA，然后证明PA∥平面FBD．
（Ⅱ） 解法一：连接EO，说明∠EOF就是二面角E-BD-F的平面角，连接EF，在Rt△OFE中，求解PA即可．解法二：分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设PA=h，求出相关点的坐标，求出平面EBD的法向量，平面FDB的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF，
∵O、F分别是AC、PC的中点，
∴FO∥PA．…（5分）
∵PA不在平面FBD内，FO在平面FBD内，
∴PA∥平面FBD．…（7分）
（Ⅱ） 解法一：连接EO，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，则BD⊥EO，BD⊥FO，
∴∠EOF就是二面角E-BD-F的平面角 …（11分）
连接EF，则EF∥AC，∴EF⊥FO，
∵$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，在Rt△OFE中，$FO=\frac{EF}{tan60°}=\frac{1}{2}$，故PA=2FO=1．…（15分）
（Ⅱ）解法二：因为FO∥PA，PA⊥底面ABCD，
∴FO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，以O为坐标原点，
如图所示，分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，设PA=h，
由题意可知各点坐标如下：O（0，0，0），A$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0}）$，
B$（{0，\frac{1}{2}，0}）$，D$（{0，-\frac{1}{2}，0}）$，P$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，h}）$，

E$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，\frac{h}{2}}）$…（11分）
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），可算得$\overrightarrow{DB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DE}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{h}{2}}）$由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{h}{2}z=0}\end{array}}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（h，0，-\sqrt{3}）$，而平面FDB的法向量可取$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）
由已知可得$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|=\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+3}}=\frac{1}{2}$，∴h=1，即PA=1．…（15分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，空间距离的求法，考查计算能力．