Question

17．已知圆O：x²+y²=1，圆O关于直线x+y+2=0对称的圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）在直线l：2x+y-3=0上是否存在点P，过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心为C（a，b），根据圆C与圆x²+y²=0关于直线x+y+2=0对称，得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+2=0}\\{\frac{b}{a}=1}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB，则点P一在OC的垂直平分线上，即在x+y+2=0上，点P也在直线l：2x+y-3=0上，即点P是直线l与直线x+y+2=0的交点，联立方程组，解得即可．

解答 解：（1）∵圆C与圆x²+y²=1关于直线x+y+2=0对称，
∴圆C的半径r=1，
圆x²+y²=1的圆心（0，0），
设圆C的圆心为C（a，b），
∵圆C与圆x²+y²=0关于直线x+y+2=0对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+2=0}\\{\frac{b}{a}=1}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=-2．
∴圆的方程为（x+2）²+（y+2）²=1．
（2）过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB，
∴点P一在OC的垂直平分线上，即在x+y+2=0上，
∵点P也在直线l：2x+y-3=0上，
∴点P是直线l与直线x+y+2=0的交点，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，
解得x=5，y=-7，
∴P（5，-7）

点评 本题考查圆的方程的求法，公切线的性质，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．是中档题