Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）令b_n=$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，证明：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$．
（3）令T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）把点（a_n，a_n+1）代入函数解析式，两边取对数，变形可得数列{lg（2a_n+1）}是以2为公比的等比数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，证明$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$得答案；
（3）由（2）的结论，裂项相消求得T_n．

解答 （1）证明：由点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，得a_n+1=2${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，
∴2a_n+1+1=2（2${{a}_{n}}^{2}$+2a_n）+1=$（2{a}_{n}+1）^{2}$，
两边取对数，得lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴数列{lg（2a_n+1）}是以2为公比的等比数列；
（2）证明：由（1）得：数列{lg（2a_n+1）}是以2为公比的等比数列，且lg（2a₁+1）=lg5，
∴lg（2a_n+1）=2^n-1•lg5，则2a_n+1=${5}^{{2}^{n-1}}$，∴${a}_{n}=\frac{1}{2}（{5}^{{2}^{n-1}}-1）$，
∴b_n=$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$=$\frac{2}{{5}^{{2}^{n-1}}-1}+\frac{2}{{5}^{{2}^{n-1}}+1}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n-1}}}{{5}^{{2}^{n}}-1}$，
而$\frac{2}{{a}_{n}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}=\frac{4}{{5}^{{2}^{n-1}}-1}-\frac{4}{{5}^{{2}^{n}}-1}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n}}-4-4•{5}^{{2}^{n-1}}+4}{（{5}^{{2}^{n-1}}-1）（{5}^{{2}^{n}}-1）}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n-1}}}{{5}^{{2}^{n}}-1}$，
∴b_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$；
（3）解：T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=$（\frac{2}{{a}_{1}}-\frac{2}{{a}_{2}}）+（\frac{2}{{a}_{2}}-\frac{2}{{a}_{3}}）+…+（\frac{2}{{a}_{n}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{2}{{a}_{1}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}=1-\frac{2}{\frac{1}{2}（{5}^{{2}^{n}}-1）}$=$1-\frac{4}{{5}^{{2}^{n}}-1}$．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．