Question

3．如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（I）求证：直线CE∥平面ABF；
（II）如果FG⊥平面ABCD求二面B一EF一A的平面角的余弦值．
（Ⅲ）若直线AF与平面 ABCD所成角为$\frac{π}{6}$，求证：FG⊥平面ABCD

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CG∥AB，从而平面CEG∥平面ABF，由此能证明CE∥平面ABF．
（Ⅱ）AG⊥BG，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面B一EF一A的平面角的余弦值．
（Ⅲ）推导出GF⊥GA，GF⊥GB，由此能证明FG⊥平面ABCD．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形，∴CG∥AB，
 CG∥平面ABF，GE∥AF，GE∥平面ABF，
∴平面CEG∥平面ABF，
∴CE∥平面ABF．…（4分）
解：（Ⅱ）AG⊥BG，如图建立空间直角坐标系，
$A（3\sqrt{3}，0，0）$B（0，3，0）F（0，0，3）
由题意平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}=（-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{BF}=（0，-3，0）$，
设平面BFEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}-3y+3z=0\\-3\sqrt{3}-2y=0\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，1），
设二面B一EF一A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面B一EF一A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（10分）
证明：（Ⅲ）∵AF与平面ABCD所成角为30°，AF=6，
∴设F（x，y，3），
∵FG=GB=3，∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{3}^{2}}$=3，∴x=y=0，∴F（0，0，3），
∴$\overrightarrow{GF}$=（0，0，3），∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{GA}=0，\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{GB}=0$，
∴GF⊥GA，GF⊥GB，
∴FG⊥平面ABCD．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．