Question

13．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T₁，T₂都过点M（0，-$\sqrt{2}$），且椭圆T₁与T₂的离心率均为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆T₁与椭圆T₂的标准方程；
（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T₁，T₂于点P，Q，当k′=4k时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T₁，T₂都过点M（0，-$\sqrt{2}$），且椭圆T₁与T₂的离心率均为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可求得椭圆T₁与椭圆T₂的标准方程；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，求出P，Q的坐标，进而得到直线方程，可得直线PQ过定点（0，$\sqrt{2}$）．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆T₁与T₂的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=b=c
∵焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T₁，T₂都过点M（0，-$\sqrt{2}$），
故椭圆T₁的b=c=$\sqrt{2}$，a=2，
椭圆T₂的b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
故椭圆T₁与椭圆T₂的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）直线MP的方程为$y=kx-\sqrt{2}$，
联立椭圆方程得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ y=kx-\sqrt{2}\end{array}\right.$，
消去y得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}-4\sqrt{2}kx=0$，则P点的横坐标为$\frac{4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，
则点P的坐标为（$\frac{4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$）
同理可得点Q的坐标为：（$\frac{4\sqrt{2}k}{8{k}^{2}+1}$，$\frac{8\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{8{k}^{2}+1}$），
故直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{\frac{8\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{8{k}^{2}+1}-\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}}{\frac{4\sqrt{2}k}{8{k}^{2}+1}-\frac{4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}}$=-$\frac{1}{2k}$，
则直线PQ的方程为：y-$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{2k}$（x-$\frac{4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$），
即y=-$\frac{1}{2k}$x+$\sqrt{2}$，
即当x=0时，y=$\sqrt{2}$，
故直线PQ过定点（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线的方程，难度中档．