Question

4．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，M是BC的中点，侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥C₁M；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AM，由△ABC是正三角形，得AM⊥BC，又AC₁⊥BC，可得BC⊥平面AC₁M，由此能证明BC⊥C₁M．
（Ⅱ）以MB，MA，MC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，B，A₁点的坐标，则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{AB}$可求，设平面A₁AB的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
从而列出方程组，求解可得$\overrightarrow{n}$，由此能求出二面角A₁-AB-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AM，∵△ABC是正三角形，
∴AM⊥BC，又AC₁⊥BC，且AC₁∩AM=A，
∴BC⊥平面AC₁M，
∴BC⊥C₁M．
（Ⅱ）解：以MB，MA，MC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0），B（\frac{a}{2}，0，0），{A_1}（\frac{a}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）$，
∴$\overrightarrow{A{A_1}}=（\frac{a}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a），\overrightarrow{AB}=（\frac{a}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$．
设平面A₁AB的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}x+\frac{{\sqrt{3}a}}{2}z=0}\\{\frac{a}{2}x-\frac{{\sqrt{3}a}}{2}y=0}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，1，-1）$．
又平面ABC的法向量是$\overrightarrow n=（0，0，1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
∴二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值为：$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查计算能力，空间思维能力，是中档题．