Question

19．已知函数f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x，a∈R．．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，证明f（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（I）函数的定义域为（0，+∞）．
因为$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（a+1）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}=\frac{（x-1）（x-a）}{x}$．
又因为函数f（x）在（1，3）单调减，所以不等式（x-1）（x-a）≤0在（1，3）上成立．
设g（x）=（x-1）（x-a），则g（3）≤0，即9-3（a+1）+a≤0即可，解得a≥3．
所以a的取值范围是[3，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）=0，得x=1或x=-1（舍）．
当x变化时，f（x），f'（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，函数f（x）的最小值为f（1）=$\frac{1}{2}$，
所以$f（x）≥\frac{1}{2}$成立．…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．